107學測詳解＆分析
- 試題分佈：（黑：單一重點、紅：兩個重點、藍：三個重點）
冊別
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主題
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子題
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對應學測題號
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備註
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I
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一、數與式
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1.數與數線
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2.數線上的幾何
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二、多項式函數
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1.簡單多項式函數及其圖形
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選填E
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2.多向式的運算與應用
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多選9、選填C
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3.多項式方程式
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多選9、選填E
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4.多項式函數的圖形與多項式不等式
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三、指數、對數函數
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1.指數
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單選4
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2.指數函數
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3.對數
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單選2、單選4、選填A
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4.對數函數
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5.指數與對數的應用
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II
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一、數列與級數
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1.數列
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單選5、單選6
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2.級數
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二、排列、組合
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1.邏輯、集合與計數原理
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多選8
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2.排列與組合
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單選3
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3.二項式定理
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三、機率
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1.樣本空間與事件
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2.機率的定義與性質
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單選2、單選3
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3.條件機率與貝式定理
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四、數據分析
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1.一維數據分析
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單選6
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2.二維數據分析
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III
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一、三角
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1.直角三角形的邊角關係
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單選7、多選10、選填B
選填C
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2.廣義角與極座標
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3.正弦定理、餘弦定理
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選填E、選填G
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4.差角公式
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單選5
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5.三角測量
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二、直線與圓
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1.直線方程式及其圖形
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選填A
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2.線性規劃
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選填D
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3.圓與直線的關係
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單選7、選填C、選填D
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三、平面向量
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1.平面向量的表示法
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單選7、多選10、選填G
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2.平面向量的內積
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3.面積與二階行列式
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多選10
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IV
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一、空間向量
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1.空間概念
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單選1、選填H
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2.空間向量的座標表示法
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選填H
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3.空間向量的內積
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4.外積、體積與行列式
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二、空間中的平面與直線
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1.平面方程式
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多選11
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2.空間直線方程式
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多選11
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3.三元一次聯立方程組
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三、矩陣
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1.線性方程組與矩陣
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2.矩陣的運算
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選填F
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3.矩陣的應用
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四、二次曲線
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1.拋物線
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多選12
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2.橢圓
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多選12
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3.雙曲線
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多選12
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- 整體分析：
今年學測整體難度約為中偏易，複雜的計算幾乎沒有，章節分布的話可以說第三冊吃重很多。三角函數及向量的比例比較高，多項式比重雖然沒有落差很大，但是難度來說比較容易，往年常出現難題的章節，像是三角測量、級數、相關係數、條件機率、首數尾數，這些今年都沒有出現。有出現的像是二次曲線、三角公式、矩陣、空間中的直線、線性規劃，雖然有出現，但難度明顯比往年簡單一些。不過考題中多了很多素養導向的問題，不需要太多的複雜運算，但明顯需要較好的知識基礎及整體性的思考，掌握住知識點的核心的話，今年的考題將會是比較簡單的一年。
- 試題詳解：
- 單選題：
- 給定相異兩點 A、B，試問空間中能使∆PAB 成一正三角形的所有點 P 所成集合 為下列哪一選項？ (1)兩個點 (2)一線段 (3)一直線 (4)一 圓 (5)一平面
<解析>
如圖。
單元：B(IV)空間向量
難度：C
- 一份試卷共有10題單選題，每題有5個選項，其中只有一個選項是正確答案。假設小明以隨機猜答的方式回答此試卷，且各題猜答方式互不影響。試估計小明全部答對的機率最接近下列哪一選項？ (1) 10-5 (2) 10-6 (3) 10-7 (4) 10-8 (5) 10-9
<解析>
全部答對的機率P=(15)10=5-10
取對數=> log P =log 5-10 =(-10)log 5 =(-10)×0.6990=-6.990
→P=10-6.990
選(3)
單元：B(I)指數與對數函數
B(II)機率
難度：C
- 某公司規定員工可在一星期(七天）當中選擇兩天休假。若甲、乙兩人隨機選擇休假日且兩人的選擇互不相關，試問一星期當中發生兩人在同一天休假的機率為何？ (1) 13 (2) 821 (3) 37 (4) 1021 (5) 1121
<解析>
機率P=全部可能-兩人沒有在同一天休假樣本空間S=C27×C27-C27×C25C27×C27=21×21-21×1021×21=1121
選(5)
單元：B(II)排列組合
難度：B(II)機率
- 試問有多少個整數 x 滿足109<2x<910？
<解析>
109<2x<910→log 109 <log 2x <log 910
→9×log 10 <x×log 2 <10×log 9
→9×log 10 <x×log 2 <10×log 32
→9×log 10 <x×log 2 <20×log 3
→9×1<0.301×x<20×0.4771
→29.900<x<31.701
符合條件的整數x有兩個(30、31)
選(2)
單元：B(I)指數與對數函數
難度：C
- 試問共有幾個角度θ滿足0°<θ<180°，
且cos (3θ-60°), cosθ,cos (3θ+60°), 依序成一等差數列？
<解析>
利用等差中項性質：
cos (3θ-60°)+cos (3θ+60°)=2cos 3θ
→[cos 3θ cos 60° +sin 3θ sin 60° ]+[cos 3θ cos 60° -sin 3θ sin 60° ]=2cos 3θ
→2cos 3θ cos 60° =2cos 3θ →cos 3θ =0→3θ=90°、270°、450°、630°……
0°<θ<180°→0°<3θ<540° 所以共三個，選（3）
單元：B(II)數列與級數
B(III)三角函數
難度：B
- 某貨品為避免因成本變動而造成售價波動太過劇烈，當週售價相對於前一週售價的漲跌幅定為當週成本相對於前一週成本的漲跌幅的一半。例如下表中第二週成本上漲100%，所以第二週售價上漲50%。依此定價方式以及下表的資訊，試選出正確的選項。
【註：成本漲跌幅=當週成本-前週成本前週成本，售價漲跌幅＝當週售價-前週售價前週售價。】
第一週
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第二週
|
第三週
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第四週
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成本
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50
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100
|
50
|
90
|
售價
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120
|
180
|
x
|
y
|
(1) 120=x<y<180 (2) 120<x<y<180 (3) x<120<y<180
(4) 120=x<180<y (5) 120<x<180<y
<解析>
第三週成本：50-100100=-12=50%→售價跌幅25％→x-180180=25%→x=135
第四週成本：90-5050=45=80%→售價漲幅40％→y-135135=40%→y=189
所以選(5)
單元： B(II)數列與級數
B(II)數據分析
難度：C
- ∆ABC內接於圓心為O之單位圓。若OA+OB+3OC=0，則∠BAC之度數為何？ (1) 30° (2) 45° (3) 60° (4) 75° (5) 90°
<解析>
題目圖形如右
OA+OB+3OC=0
→OB+3 OC=-OA→|OB+3 OC|=|-OA|
→|OB+3 OC|2=|-OA|2
→(OB+3 OC)∙(OB+3 OC)=(-OA)∙(-OA)
→|OB|2+23 OB∙OC+3|OC|2=|OA|2
→1+23 OB∙OC+3=1 ∵|OA|=|OB|=|OC|=1
→OB∙OC=-32，cos ∠BOC =-32，∠BOC=150°
→∠BAC=75° ∵∠BOC=2∠BAC
所以選(4)
單元：B(III)三角函數
B(III)直線與圓
B(III)平面向量
難度：B
- 多選題
- 某年學科能力測驗小華的成績為：國文11級分、英文12級分、數學9 級分、自然9級分、社會12級分。他考慮申請一些校系，表1為大考中心公布的學測各科成績標準；表2是他最有興趣的五個校系規定的申請檢定標準，依規定申請者需通過該校系所有檢定標準才會被列入篩選。例如甲校系規定國文成績須達均標、英文須達前標、且社會須達均標；丙校系則規定英文成績須達均標、且數學或自然至少有一科達前標。表 2 空白者表示該校系對該科成績未規定檢定標準。
頂標
|
前標
|
均標
|
後標
|
底標
|
國文
|
英文
|
數學
|
自然
|
社會
| |||
國文
|
13
|
12
|
10
|
9
|
7
|
甲校系
|
均標
|
前標
|
均標
| |||
英文
|
14
|
12
|
9
|
6
|
4
|
乙校系
|
前標
|
均標
|
前標
| |||
數學
|
12
|
10
|
7
|
4
|
3
|
丙校系
|
均標
|
一科達前標
| ||||
自然
|
13
|
11
|
9
|
6
|
5
|
丁校系
|
一科達前標
|
均標
|
均標
| |||
社會
|
13
|
12
|
10
|
8
|
7
|
戊校系
|
均標
|
前標
|
均標
|
前標
| ||
表1 學測各科成績標準 表2 校系篩選規定
根據以上資訊，試問小華可以考慮申請哪些校系？（會被列入篩選）
（1）甲校系 (2) 乙校系 (3) 丙校系 (4) 丁校系 (5) 戊校系
<解析>
使用表格可清楚看出
國文
|
英文
|
數學
|
自然
|
社會
| |
分數
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11
|
12
|
9
|
9
|
12
|
標準
|
均標
|
前標
|
均標
|
均標
|
前標
|
國文
|
英文
|
數學
|
自然
|
社會
| |
甲校系
|
均標
|
前標
|
均標
| ||
乙校系
|
前標
|
均標
|
前標
| ||
丙校系
|
均標
|
一科達前標
| |||
丁校系
|
一科達前標
|
均標
|
均標
| ||
戊校系
|
均標
|
前標
|
均標
|
前標
| |
所以選(1)(4)
單元：B(II)排列組合
難度：C
- 已知多項f(x)除以x2-1之餘式為2x+1。試選出正確的選項。
- f(0)=1
(2) f(1)=3
(3) f(x)可能為一次式
(4) f(x) 可能為4x4+2x2-3
(5) f(x) 可能為4x4+2x3-3
<解析>
由題意&除法原理可知：f(x)=(x2-1)Q(x)+(2x+1)
- f(0)=(-1)Q(0)+1，無法判定
- f(1)=(12-1)Q(1)+(2+1)→f(1)＝3
- f(x)=2x+1時，符合選項敘述。
- 4x4+2x2-3=(x2-1)Q(x)+(2x+1)，將x=-1代入不合
- 4x4+2x3-3=(x2-1)Q(x)+(2x+1)
→4x4+2x3-3-(2x+1)=(x2-1)Q(x)
→4x4+2x3-2x-4=(x2-1)Q(x) ★利用長除法
可得Q(x)=4x2+2x+4
所以選(2)(3)(5)
單元：B(I)多項式函數
難度：B
- 已知坐標平面上∆ABC，其中AB=(-4,3)且AC=(25,45)。試選出正確的選項。 (1)BC=5 (2)∆ABC是直角三角形 (3) ∆ABC的面積為115
(4) sin B >sin C (5) cos A >cos B
<解析>
BC=AC-AB=(225,-115)
- |BC|=(225)2+(-115)2=115
- AC∙BC=0，∠C＝90°
- 因為ABC為直角三角形，所以面積=12×|AC|×|BC|=12×255×115=115
- 由圖形可知，∠B<∠C=90°，所以sin C >sin B
- 由圖形可知，∠B<∠A<90°(大邊對大角)，所以cos B >cos A
所以選(2)(3)
單元：B(III)三角函數
B(III)平面向量
難度：B
- 座標空間中，設直線L：x-12=y-2-3=z-1，平面E1:2x-3y-z=0，平面E2:x+y-z=0。是選出正確的選項。
- 點(3,0,-1)在直線L上。
- 點(1,2,3)在平面E1上。
- 直線L與平面E1垂直。
- 直線L在平面E2上。
- 平面E1與E2交於一直線。
<解析>
L：x-12=y-2-3=z-1→方向向量L=(2,-3,-1)
E1:2x-3y-z=0→法向量N1=(2,-3,-1)
E2:x+y-z=0→法向量N1=(1,1,-1)
- 將點代入L不合→3-12≠0-2-3，所以點不在直線上
- 將點代入平面E1，2×1-3×2-3≠0，所以點不在平面上
- L平行N1，直線方向向量平行平面法向量，所以成立。
- L∙N1=0→直線方向向量垂直平面法向量，但是取直線上一點(1,2,0)不在平面上，所以直線與平面平行，直線不在平面上。
- 兩平面的法向量不平行，所以兩平面交於一直線。
單元：B(IV)空間中的平面與直線
難度：B
- 試問下列哪些選項中的二次曲線，其焦點（之一）是拋物線y=2x2的焦點。
- y=(x-12)2-14
- x24+y23=1
- x2+4y23=1
- 8x2-8y2=1
- 4x2-4y2=1
<解析>
y=2x2的焦點為(12,0)
- y=(x-12)2-14→y+14=4∙14(x-12)2的焦點為(12,0)
- x24+y23=1→a=2,b=3→c=1，所以此圖的焦點為(1,0)、(-1,0)
- x2+4y23=1→x2+y234=1→a=1,b=34→c=12，
所以此圖的焦點為(12,0)、(-12,0)
- 8x2-8y2=1→x218-y218=1→a=18,b=18→c=12
所以此圖的焦點為(12,0)、(-12,0)
- 4x2-4y2=1→x214-y214=1→a=12,b=12→c=12
所以此圖的焦點為(12,0)、(-12,0)
所以選(1)(3)(4)
單元：B(IV)二次曲線
難度：B
- 選填題
- 已知座標平面上三點(3,log 3 ),(6,log 6 ),(12,y)在同一條直線上，
則y=log _________
<解析>三點共線➔斜率相同
log 6 -log 3 6-3=y-log 3 12-3→log 2 3=y-log 3 9→3(y-log 3 )=9log 2
→y=log 3 +3log 2 =log (3×23) =log 24
單元：B(I)指數與對數函數
B(III)直線與圓
難度：B
- 如右圖，將梯子AB靠在與地面垂直的牆AC上，測得與水平地面的夾角∠ABC=60°。將在地面上的底B沿著地面向外拉51公分到點F（即FB＝51公分），此時梯子EF與地面的夾角∠EFC之正弦值為sin ∠EFC =0.6，則梯子長AB=____________公分。
<解析>
sin ∠EFC =0.6→令AB=EF=5x,EC=3x,FC=4x,BC=4x-51
∠ABC=60°→AB: BC=2:1→5x=2(4x-51)→x=34
AB=5x=170
單元：B(III)三角函數
難度：B
- 平面上兩點A、B之距離為5，以A為圓心做一半徑為r(0<r<5)的圓Γ，過B做圓Γ切線，切點（之一）為P。當r變動時，ΔＡＢＣ的面積最大可能值為ˍˍˍˍˍ
<解析>
設PA＝ｒ→PB＝25-r2
∆ABC＝12×PA×PB＝12×r×25-r2
→12-r4+25r2＝12-（r2-252）2＋6254
最大面積為12×252＝254
單元：B(I)多項式函數
B(III)三角函數
B(III)直線與圓
難度：B
- 座標平面上，圓Γ完全落在四個不等式：x-y≤4,x+y≤18,x-y≥-2,x+y≥-24所圍成的區域內。則Γ最大可能面積為________π
<解析>
由圖形可看出圓半徑為
直線x-y=-2和直線x-y=4的距離的一半
半徑＝12×|(-4)-(2)|12+(-1)2=12×32=322
面積=9π2
單元：B(III)直線與圓
難度：B
- 座標平面上，若拋物線y=x2+2x-3的頂點為C，與x軸的交點為A、B，則cos ∠ACB ＝________
<解析>
求出頂點座標及x軸焦點座標，
可得∆ABC三邊長為25,25,4
利用餘弦定理：cos ∠ACB =252+252-422(25)(25)=35
單元：B(I)多項式函數
B(III)三角函數
難度：B
- 設a,b,c,d,e,x,y,z皆為實數，考慮矩陣相乘：
[a b c d 1 2 ][-3 5 7 -4 6 e ]=[3 x 7 0 y 7 -11 z 23 ]，則y=_________
<解析>
由矩陣乘法可知：5c+6d=y
另可發現：{-3c-4d=0 7c+de=7 7+2e=23 →e=8,c=7,d=-214
y=5c+6d=5×7+6×(-214)=72
單元：B(IV)矩陣
難度：B
- 設D為ΔABC中BC邊上的一點，已知∠ABC=75°、∠ACB=45°、∠ADB=60°。若AD＝sAB+tAC，則s=______,t=________
<解析>
如圖：做AH垂直BC於H，設DH=x
ΔADH中(30°-60°-90°)：DH=x→AH=3x,DH=2x
ΔACH中(45°-45°-90°)：AH=CH=3x,→CD=3x-x
ΔABH中(75°-15°-90°)：AH=3x, BH=(23-3)x
BD:CD=((23-3)x+x):(3x-x)=(23-2)x:(3-1)x=2:1
根據分點公式：AD＝13AB+23AC
s=13,t=23
單元：B(III)三角函數
B(III)平面向量
難度：A
- 將一塊邊長AB=15公分、BC＝20公分的長方形鐵片ABCD沿對角線BD對摺後豎立，使得平面ABD與平面CBD垂直，則A、C兩點（在空間）的距離AC＝____________
<解析>
由圖可知，∆ABD、∆BCD為3：4：5的三角形
因此可知A'H=12,BH=9
另從∆BCD可得cos ∠DBC =45
∆BCH中，利用餘弦定理：CH=92+202-2×9×20×45=193
∆A'CH中：A'C=A'H2+CH2=144+193=337
單元：B(IV)空間向量
難度：A
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